Mục đích chính của chương là đi chứng minh định lý cơ bản của số học và những ứng dụng của nó. Suốt bài viết này, để biểu diễn những số nguyên ta dùng những chữ cái latinh nhỏ\[a,\,b,\,c,\,\ldots,\,m,\,n,\,\ldots ,\,x,\,y,\,z.\]

Chúng ta gọi những số $1,\,2,\,3,\ldots $ là những số tự nhiên và \[\ldots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots\]là những số nguyên, vì thế trong một vài tình huống số nguyên còn được gọi là những số nguyên dương. Chúng ta để ý rằng tổng hai số nguyên cũng là một số nguyên, tích hai số nguyên cũng là một số nguyên, hiệu hai số nguyên cũng là một số nguyên.

Với $\alpha$ là một số thực. Chúng ta ký hiệu $\left\lfloor \alpha \right\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\alpha$.
Ví dụ.\[\left\lfloor 3 \right\rfloor = \left\lfloor \pi \right\rfloor = 3,\quad\left\lfloor {\sqrt 2 } \right\rfloor = 1,\quad\left\lfloor { – \pi } \right\rfloor = – 4.\]

Ta gọi $\left\lfloor \alpha \right\rfloor$ là \textit{\textbf{phần nguyên}} của $\alpha$, và để ý rằng ta luôn có đánh giá\[\left\lfloor \alpha \right\rfloor\le\alpha<\left\lfloor \alpha \right\rfloor+1\quad\forall\,\alpha\in\mathbb R.\]
Giờ ta lấy $\alpha$ là số hữu tỷ có dạng $\dfrac{a}{b}$ với $b>0$, ta có\[0 \le \frac{a}{b} – \left\lfloor {\frac{a}{b}} \right\rfloor < 1.\]Từ đó ta sẽ có\[0 \le a – b\left\lfloor {\frac{a}{b}} \right\rfloor < b.\]Đặt $\left\lfloor {\dfrac{a}{b}} \right\rfloor=q$ và $a – b\left\lfloor {\dfrac{a}{b}} \right\rfloor =r$, ta dẫn đến định sau.

Định lý. Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên bất kì với $b>0$. Lúc đó sẽ tồn tại hai số nguyên $q$ và $r$ thoả mãn\[a=qb+r,\quad 0\le r<b.\]
Số $r$ trong định lý trên được gọi là số dư của $a$ khi chia $b$.

Định nghĩa. Nếu số dư của $a$ khi chia $b$ là $0$, điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $c$ thoả $a$ = $bc$. Lúc đó chúng ta nói, $a$ là \textbf{bội số} của $b$ và $b$ \textbf{chia hết} $a$ và ta viết $b\mid a$, ta cũng nói $b$ là \textbf{ước số} của $a$. Rõ ràng ta luôn có $1\mid a,\,b\mid 0,\,a\mid a$ với mọi $a\ne 0$. Trường hợp ngược lại, khi $b$ không là ước của $a$ ta viết $b\nmid a$. Cuối cùng, nếu $b\mid a$ và $b\notin\{-a,\,-1,\,1,\,a\}$ ta nói $b$ là một \textbf{ước thực sự} của $a$.

Liên quan đến tính chia hết ta có một vài định lý hiển nhiên sau.

Định lý. Giả sử $bc\ne 0$, khi đó.

1.  Nếu $b\mid a$ và $c\mid b$ thì $c\mid a$;
2. Nếu $b\mid a$ thì $bc\mid ac$;
3. Nếu $c\mid d$ và $c\mid e$, lúc đó với mọi $m,\,n\in\mathbb Z$ thì $c\mid\left(md+ne\right)$. 

Ta cũng có điều hiển nhiên sau.

Định lý. Nếu $b$ là ước thực sự của $a$ khi đó\[1<\left|b\right|<|a|.\]

Dưới đây, là một số bài tập về phần nguyên bổ trợ cho mục này.

Bài tập. Nếu $n$ là một số nguyên dương, lúc đó\[\left\lfloor {\frac{{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor }}{n}} \right\rfloor = \left\lfloor \alpha \right\rfloor .\]

Bài tập. Nếu $n$ là một số nguyên dương, lúc đó\[\left\lfloor \alpha \right\rfloor + \left\lfloor {\alpha + \frac{1}{n}} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor {\alpha + \frac{{n – 1}}{n}} \right\rfloor = \left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor .\]

Bài tập. Chứng minh bất đẳng thức sau\[\left\lfloor {2\alpha } \right\rfloor + \left\lfloor {2\beta } \right\rfloor \ge \left\lfloor \alpha \right\rfloor + \left\lfloor \beta \right\rfloor + \left\lfloor {\alpha + \beta } \right\rfloor .\]